证明∑sin(π√n^2+a^2)是收敛性,用交错级数方法做,急.

通项sin(π√(n^2+a^2)) = (-1)^n·sin(π√(n^2+a^2)-πn) = (-1)^n·sin(πa^2/(√(n^2+a^2)+n)).
当n > a^2,有0 < πa^2/(√(n^2+a^2)+n) < πa^2/(2n) < π/2.
可知此时sin(πa^2/(√(n^2+a^2)+n))恒正,在此范围内级数为交错级数.
又由πa^2/(√(n^2+a^2)+n)单调递减趋于0,sin(x)在(0,π/2)上单调增.
可知n > a^2时通项绝对值sin(πa^2/(√(n^2+a^2)+n))单调递减趋于0.
因此在n > a^2时,级数满足Leibniz判别法的条件,从而收敛.