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lixuan427
是正确的,证明比较麻烦啊。 将上式两边同乘a1a2a3...an得到 a1^(n+1)+a2^(n+1)+...an^(n+1)≥(a1+a2+a3+...+an)a1a2a3...an 可用数学归纳法证这个式子 n=2时,要证a1^3+a2^3≥(a1+a2)a1a2 ,左边-右边=a1^2(a1-a2)-a2^2(a1-a2) = (a1^2-a2^2)(a1-a2) =(a1+a2)(a1-a2) ^2 >=0 ,所以n=2时成立 设n=k时成立,即a1^(k+1)+a2^(k+1)+...ak^(k+1)≥(a1+a2+a3+...+ak)a1a2a3...ak (1) 则n=k+1时, 考虑 (1)对任意k个数成立,从a1,a2……a(k+1)中取k个数有k+1 中取法,所以有k+1个式子,分别如下: a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥(a2+a3+...+a(k+1))a2a3...a(k+1) ,两边同乘a1得[a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a1≥(a2+a3+...+a(k+1))a1*a2a3...a(k+1) a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥(a1+a3+...+a(k+1))a1a3...a(k+1) ,两边同乘a2得[a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a2≥(a1+a3+...+a(k+1))a2*a1a3...a(k+1) …… [a1^(k+1)+a3^(k+1)+...ak^(k+1)]*a(k+1)≥(a1+a2+...+ak))a(k+1)*a1a3...ak 将这k+1个式子 相加得 ∑ap^(k+1)*aq ≥ k*(a1+a2+...+ak+a(k+1))*a1a2a3...a(k+1) , (2) 左边∑ 是对p,q=1,2……k+1 求和,且p≠q,这样求和刚好有k*(k+1)项 , n=k+1时要证 a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a(k+1)^(k+2)≥(a1+a2+a3+...+a(k+1))a1a2a3...a(k+1) 该式右边就是(2)右边/k ,所以要证本式只需证 k*[a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a(k+1)^(k+2)] ≥ ∑ap^(k+1)*aq (3) (3)式左边有k*(k+1)项,右边也有k*(k+1)项 ,所以可以想到对某一p,q来证明 取(3)左边两项 ap^(k+2)+aq^(k+2) ,取(3)右边两项ap^(k+1)*aq +aq^(k+1)*ap ap^(k+2)+aq^(k+2) -ap^(k+1)*aq -aq^(k+1)*ap =ap^(k+1)*(ap-aq) -aq^(k+1)*(ap-aq) = [ap^(k+1) -aq^(k+1)]*(ap-aq) = [ap^k+ap^(k-1)aq+ap^(k-2)aq^2 +……aq^k]*(ap-aq)^2 >=0 这是对任意 p,q成立,对所有p,q求和, (3) 式得证 , 这样,假设n=k时结论成立,则n=k+1时结论也成立 由数学归纳法可证结论