已知函数f（x）=3x 2 +1，g（x）=2x，数列{a n }满足对于一切n∈N * 有a n ＞0，且 f( a

（1）∵ f( a n +1)-f( a n )=g( a n+1 +
3
2 )
∴ 3( a n +1 ) 2 +1-3 a n 2 -1=2( a n +1 +
3
2 )，即6 a ^ =2 a n+1 ⇒
a n +1
a n =3
故数列{a _n }为等比数列，公比为3．
（2） b n =lo g a n a⇒
1
b n =lo g a a n ⇒
1
b n+1 -
1
b n =lo g a
a n+1
a n =lo g a 3
所以数列 {
1
b n } 是以
1
b 1 为首项，公差为log _a 3的等差数列．
又 lo g a 3=

1
b k -
1
b l
k-l =
1+3l-1-3k
k-l =-3 ⇒a= 3 -
1
3 =(
1
3 )
1
3
又
1
b k =
1
b 1 +(k-1)(-3)=1+3l ，且k+l=9
∵
1
b 1 =3(k+l)-2=25
∴
1
b n =25+(n-1)(-3)=28-3n⇒ b n =
1
28-3n
（3）∵k+l=M ₀ ⇒
1
b 1 =3 M 0 -2
∴
1
b n =3 M 0 -2+(n-1)(-3)=3 M 0 -3n+1
假设第m项后有a _n ＞1
∵ a=(
1
3 )
1
3 ∈(0，1)⇒
1
b n =lo g a a n ＜0
即第m项后
1
b n ＜0 ，
于是原命题等价于


1
b m ＞0

1
b m+1 ＜0 ⇒

3 M 0 -3m+1＞0
3 M 0 -3(m+1)+1＜0 ⇒ M 0 -
2
3 ＜m＜ M 0 +
1
3
∵m，M∈N ^* ⇒m=M ₀ 故数列{a _n }从M ₀ +1项起满足a _n ＞1．