（理）已知函数f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）min=-1（x∈R），l

解题思路：（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立得到b=d=0，由limx→0f(3+x)−f(3)x＝8知f'（3）=8；又f'（x）min=-1（x∈R）求得a，c得到解决；（2）由题意方程13x3−x=nx2-2x即x（x2-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x2-3nx+3=0有两个不同的正根；（3）假设存在，由函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，不妨取函数y=x，再由y＝13x3−xy＝x和f'（x）=x2-1=0．有函数f（x）在x∈[−6，(1，6]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．找到满足条件的区间[α，β]即可．

（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数⇔f（-x）=-f（x）恒成立⇔b=d=0，f'（x）=3ax²+c，
由
lim
x→0
f(3+x)−f(3)
x＝8，知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R），
∴c=-1，f′(3)＝27a−1＝8⇔a＝
1
3，
∴f(x)＝
1
3x3−x．
（2）由题意方程[1/3x3−x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x²-3nx+3=0有两个不同的正根，
∴

n＞0
△＝9n2−12＞0]⇔n＞
2
3
3．
（3）假设存在，由

y＝
1
3x3−x
y＝x得x=0或x=±
6．
令f'（x）=x²-1=0得x=±1，当x∈[−
6，−1)或x∈(1，
6]时f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴函数f（x）在x∈[−
6，−1)，(1，
6]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．
∴f（x）在[−
6，
6]上的极大值和极小值分别为f(−1)＝
2
3，f(1)＝−
2
3，而−
6＜−
2
3＜
2
3＜
6．
所以存在满足条件的区间[α，β]，如x∈[−
6，
6]，y∈[−
6，
6]．

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性，导数的定义和函数的单调性．