已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中

依题意，设抛物线C的方程为y=ax ² ，
（Ⅰ）∵点A（1，2）在抛物线C上，∴a=1．
∴抛物线C的方程为y=2x ² ．…（4分）
（Ⅱ）如图，设A（x ₁ ，2x ₁ ² ），B（x ₂ ，2x ₂ ² ），
把y=kx+2代入y=2x ² 得：2x ² -kx-2=0，
由韦达定理得：x ₁ +x ₂ =
k
2 ，x ₁ x ₂ =-1，∴x _N =x _M =
x 1 + x 2
2 =
k
4 ，
即N点的坐标为（
k
4 ，
k 2
8 ）．…（8分）
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-
k 2
8 =m（x-
k
4 ），
将y=2x ² 代入上式得：2x ² -mx+
mk
4 -
k 2
8 =0，
∵直线l与抛物线C相切，所以△=m ² -8（
mk
4 -
k 2
8 ）=m ² -2mk+k ² =（m-k） ² =0，
∴m=k，即l ∥ AB．…（12分）

1年前