在R上定义运算⊗：p⊗q=-[1/3]（p-c）（q-b）+4bc（b、c为实常数）．记f1（x）=x2-2c，f2（x

（I）依题意：已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
得f（x）=[1/3]x³+bx²+cx+bc，
解

f(1)＝
4
3
f′(1)＝0得

b＝1
c＝−1或

b＝1
c＝3．
若得

b＝1
c＝−1，
f（x）=[1/3]x³+x²-x-1，
f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若

b＝1
c＝3，f（x）=[1/3]x³-x²+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以

b＝1
c＝3即为所求；
（Ⅱ）f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、（2b，3bc+[4/3]b³），
相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+[4/3]b³．
解cx+bc=-[1/3]x³+bx²+cx+bc，
得x=0或x=3b；
解cx+bc+[4/3]b³=-[1/3]x³+bx²+cx+bc，
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和（2b，[4/3]b³+3bc）、（-b，[4/3]b³）
（Ⅲ）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．
若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
因为|b|＞1，所以函数y=f′（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
所以f′（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（1）和g（-1）中较大的一个．
假设M≤2，则g（-1）=|-1-2b+c|≤2，
g（1）=|-1+2b+c|≤2，
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，
所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（x）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b∓1）²．；
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）
则M=max{||f′（1）|，|f′（b）|}≥[1/2]|f′（1）-f′（b）|=[1/2]（b-1）²≥[1/2]
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{||f′（-1）|，|f′（b）|}≥[1/2]|f′（-1）-f′（b）|=[1/2]（b+1）²≥[1/2]
当b=0，c=[1/2]时，g（x）=|f′（x）|=|-x²+[1/2]|在[-1，1]上的最大值M=[1/2]．
所以，k的取值范围是（-∞，[1/2]]．k的最大值为[1/2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数的导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查不等式有解转化为求函数的最值及参数分离法，构造函数求最值，是解题的关键，属于难题