（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左

解题思路：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

（1）设抛物线为y=a（x-4）²-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，a＝
1
4；
∴抛物线为y＝
1
4(x−4)2−1＝
1
4x2−2x+3；（3分）

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当
1
4(x−4)2−1＝0时，x₁=2，x₂=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=
22+32=
13，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴
AB
BC=
OB
CE，即

13
4=
2
CE，解得CE=
8
13
13，
∵
8
13
13＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y＝−
1
2x+3；（8分）
设P点的坐标为（m，
1
4m2−2m+3），
则Q点的坐标为（m，−
1
2m+3）；
∴PQ=-
1
2m+3-（
1
4m²-2m+3）=-
1
4m²+
3
2m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=
1
2×（-
1
4m²+
3
2m）×6
=-
3
4（m-3）²+
27
4；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为
27
4；
此时，P点的坐标为（3，−
3
4）．（10分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．