1.如图，AB为圆O的直径C为圆O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB

(1)连接OC,∠OCD=∠ADC=90º,OA=OC
∴四边形OADC为正方形
易证：
AC作为对角线平分∠DAB
(2)连接OA,OB,OC
∵AB为小圆切线
∴OC⊥AB
∴∠OCA=∠OCB=90º ↘
OA=OB →⊿OCA≌⊿OCB
OC=OC ↗
∴AC=BC,即C平分AB
(3)∵AB为直径
∴∠ADB=90º
∴∠ADB=∠CDB=90º ↘
∵AD=CD,BD=BD ↗
∴⊿ADB≌⊿CDB
∴∠ABD=∠CBD ①
∵BC为切线
∴AB⊥BC
即 ∠ABC=90º=∠ABD+∠CBD ②
由①②可得：∠ABD=45º

啦啦啦 来了！我想说坏 你真有功夫！！

1.根据相切可得出OC垂直DC，∠OCD=90°，再根据AD垂直于CD，∠CDA=90°，所以OC//AD。根据平行可得∠DAC=∠CAO.OA和OC都是半径，所以等腰对等角，∠OCA=∠CAO.得出∠DAC=∠CAO=∠OCA，所以平分
2.小圆：C为切点，所以，OC⊥AB。再看大圆，垂直于弦的半径平分弦，所以C为AB的中点
3.AB为直径，直径对应的圆周角为90°，所以BD⊥A...