数分,判断正项级数的收敛性ln(1+n)/(n^2),

Sn=ln2/1+ln3/2^2+ln4/3^2+..+ln(1+n)/n^2
=ln(2/1*3/2^*4/3^2*..*(n+1)/n^2
=ln(n+1)!/(n!)^2
=ln(n+1)/n!
=ln[1/(n-1)!+1/n!]
观察Sn为减函数,单n=1时候有最大值ln1=0.故Sn有上界,根据正项级数收敛的充分必要条件是部分和Sn有上界面,所以Sn收敛.
你如果是Sn=ln(1+n)/n^2=ln(1/n+1/n^2)这个也是减函数,当n=1时候,Sn有最大值ln2,故ln2是Sn的一个上界,根据正项级数收敛的充分必要条件是部分和Sn有上界面,所以Sn收敛.

当n->+inf，ln(1+n)/(n^2)所以通过比较判别法：原级数·收敛。

用积分判别法，
∫<1到+∞>ln(1+x)/x² dx 是收敛的
所以是原级数也收敛