如图，抛物线y1＝a(x−m)2与y2关于y轴对称，顶点分别为B、A，y1与y轴的交点为C．若由A，B，C组成的三角形中

解题思路：（1）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，再根据轴对称性求出y₂的解析式，然后求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后根据tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根据a=1求出m的值，得到两抛物线的解析式，然后根据抛物线y₁的解析式设出点Q的坐标，再根据轴对称的性质以及矩形的周长公式列式整理得到矩形MNPQ的周长表达式，然后根据二次函数的最值问题解答；
②根据点Q的坐标分别表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解；（ii）CE与PB是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解．

（1）y₁=a（x-m）²顶点B（m，0），
y₂=a（x+m） ²顶点A（-m，0），
交y轴于C（0，am ²），
∵tan∠ABC=2，
∴[CO/OB]=2，
即
am 2
m=2，
∴am=2；

（2）①当a=1时，m=2，
所以y₁=（x-2） ²，
令Q（x，（x-2） ²），
则矩形MNPQ的周长：L=2×2x+2（x-2） ²=2x ²-4x+8=2（x-1） ²+6，
所以，当x=1时，周长的最短为6，
此时Q（1，1）；

②存在点Q₁（3，1），Q₂（3-
2，3-2
2），Q₃（3+
2，3+2
2）使得△CEQ与△QPB相似．
理由如下：∵当a=1时，m=2，
∴am²=4，
∴点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） ²），
∴CE=|4-（x-2） ²|=|x²-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） ²，PB=|2-x|，
（i）当CE和PQ是对应边时，∵△CEQ与△QPB相似，
∴[CE/PQ]=[QE/PB]，
即
|x2−4x|
(x−2)2=[x
|2−x|，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此时（x-2） ²=（3-2） ²=1，
所以，点Q的坐标为（3，1），
（ii）CE与PB是对应边时，
∵△CEQ与△QPB相似，
∴
CE/PB]=[QE/PQ]，
即
|x2−4x|
|2−x|=

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的顶点式解析式求顶点坐标，轴对称的性质，二次函数的对称性与矩形的对称性以及矩形的周长公式，二次函数的最值问题，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，要注意根据对应边不同分情况讨论．