（本小题满分14分）椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率 ，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：

同解析

设椭圆方程为： （a＞b＞ 0），由 及a ² =b ² +c ² 得a ² =3b ² ，故椭圆方程为x ² +3y ² =3b ² …①（1分）
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）两点，
并且 （λ≥2）
∴（x ₁ +1，y ₁ ）=λ（-1-x ₂ ，-y ₂ ），即 ……②
把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:（3k ² +1）x ² +6k ² x+3k ² -3b ² =0,且△=k ² （3b ² -1）+b ² >0,
∴ ……③ ……④（3分）
∴
联立②、③得： ∴ （5分）
（2）
当且仅当 即 时，S _{△ OAB} 取得最大值。
此时 ，又∵x ₁ +1=-λ（x ₂ +1），
∴ ，代入④得： 故此时椭圆的方程为
（10分）
（3）由②．③联立得： 将x ₁ ．x ₂ 代入④得： 由k ² =λ-1
得：
易知：当λ≥2时，3b ² 是λ的减函数，故当λ=2时，（3b ² ） _max =3．故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x ² +3y ² =3。（14分）