f(x)=lnx-px+1 第（3）问用数学归纳法

1）f（x）的定义域为（0,+∞）
f'（x）=1/x-p.当p=0时,f'（x）=1/x,f'（x）＞0,则f（x）在（0,+∞）单调递增.
令f'（x）=1/x-p=0,得x=1/p.
当p＞0时,x∈（0,1/p）,f'（x）＞0,f（x）单调递增；x∈(1/p,+∞),f'（x）＜0,f（x）单调递减.
当p＜0,x∈（0,1/p）,f'（x）＞0,f（x）单调递减；x∈(1/p,+∞),f'（x）＜0,f（x）单调递增.
2）由1）得f(x)在（0,1/p）单调递增；在(1/p,+∞)单调递减.∴f(x)在x=1/p max.则f(1/p)=ln1/p.
∴ln1/p≤0,又p＞0解得p≥1.
3）数归法证明：
当n=2时,ln2² /2 ²＜（8-2-1)/(2*2+2)=5/6,不等式成立.
假设n=k,；[（ln2² )/2 ²]+[(ln3²)/3² )]+……[(lnk² )/k² ]0 ∴ 只要比较(k²+3k+1)(k+1)-(k+2)ln（k+1）²
令g(k)=(k²+3k+1)(k+1)-(k+2)ln（k+1）²,k≥2
g'(k)=3k²+8k-ln(k+1)²-2/(k+2)+2
g''(k)=6k+8-2k/(k+1)²=(6的3次方+20k²+20k+8)/(k+1)²>0
∴g'(k)在[2,+∞）单调递增∴g'(k)≥g'(2)=30-ln9-2/3>0
∴g(k)在[2,+∞）单调递增∴g(k)≥g(2)=24-4ln9>0
∴(k²+3k+1)(k+1)-(k+2)ln（k+1）²>0
∴（2k²-k-1)/(2k+2)+[ln（k+1）² ]/（k+1）²