设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．

解题思路：分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n²+b²=c²；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=[a/c]，cosA=[b/c]，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinⁿA＜sin²A，conⁿA＜con²A，得到sinⁿA+conⁿA＜sin²A+con²A=1，
即(

a

c

) n+(

b

c

) n＜1，即可得到它们的关系．

当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a²+b²=c²；
当n≥3，则aⁿ+bⁿ＜cⁿ，
证明如下：
∵sinA=[a/c]，cosA=[b/c]，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinⁿA＜sin²A，conⁿA＜con²A，
∴sinⁿA+conⁿA＜sin²A+con²A=1，
即(
a
c) n+(
b
c) n＜1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

点评：
本题考点： 锐角三角函数的增减性．

考点点评： 本题考查了三角函数的定义和它们的性质；也考查了代数式的变形能力和分类思想的运用以及勾股定理．