已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：

证明：（Ⅰ）设0≤x ₁ ＜x ₂ ≤1，则x ₂ -x ₁ ∈（0，1）
∴f（x ₂ -x ₁ ）＞0
∴f（x ₂ ）-f（x ₁ ）=f[（x ₂ -x ₁ ）+x ₁ ]-f（x ₁ ）=f（x ₂ -x ₁ ）+f（x ₁ ）-f（x ₁ ）=f（x ₂ -x ₁ ）＞0
即f（x ₂ ）＞f（x ₁ ）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4 f 2 (x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
4 f 2 (x)-8f(x)+5
4-4f(x) 对x∈[0，1]恒成立，
设 y=
4 f 2 (x)-8f(x)+5
4-4f(x) =1-f(x)+
1
4[1-f(x)] ≥1 ，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S _n =
1
2 2 +
2
2 3 +
3
2 4 +…+
n
2 n+1 ----------①，
则
1
2 S n =
1
2 3 +
2
2 4 +
3
2 5 +…+
n
2 n+2 --------------②，
由①-②得，
1
2 S n =
1
2 2 +
1
2 3 +
1
2 4 +…+
1
2 n+1 -
n
2 n+2 ，即，S _n =
1
2 +
1
2 2 +
1
2 3 +…+
1
2 n -
n
2 n+1 = 1-
1
2 n -
n
2 n+1 ＜1
所以 f(
1
2 2 +
2
2 3 +…+
n
2 n+1 )＜f(1)=1 ．