已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，∫∫Df（x，y）dxdy=a，其中D={
已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0，
f（x，y）dxdy=a，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
xy
（x，y）dxdy．
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
| ∫ | ″ xy |
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I＝
∬
Dxy
f‘’xy(x，y)dxdy＝
∫10xdx
∫10y
f‘’xy(x，y)dy
∵
∫10y
f‘’xy(x，y)dy＝
∫10yd
f’x(x，y)＝y
f’x(x，y)
|10−
∫10
f’x(xy)dy
∴I＝
∫10xdx
∫10y
f‘’xy(x，y)dy＝
∫10x
f’x(x，1)dx−
∫10xdx
∫10
f’x(x，y)dy
=Xf(x，1)
|10−
∫10xdx
∫10y
f’x(x，y)dy＝−
∫10dy
∫10xfx’(x，y)dx
=−[
∫10xf(x，y)
|10dy−
∫10dy
∫10f(x，y)dx]
=
∫10dy
∫
∬
Dxy
f‘’xy(x，y)dxdy＝
∫10xdx
∫10y
f‘’xy(x，y)dy
∵
∫10y
f‘’xy(x，y)dy＝
∫10yd
f’x(x，y)＝y
f’x(x，y)
|10−
∫10
f’x(xy)dy
∴I＝
∫10xdx
∫10y
f‘’xy(x，y)dy＝
∫10x
f’x(x，1)dx−
∫10xdx
∫10
f’x(x，y)dy
=Xf(x，1)
|10−
∫10xdx
∫10y
f’x(x，y)dy＝−
∫10dy
∫10xfx’(x，y)dx
=−[
∫10xf(x，y)
|10dy−
∫10dy
∫10f(x，y)dx]
=
∫10dy
∫
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