如图，棱长为a的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别是B 1 C 1 、C 1 D 1 的中点

（1）证明：如答图所示，连接B ₁ D ₁ ，
在△C ₁ B ₁ D ₁ 中，C ₁ E=EB ₁ ，C ₁ F=FD ₁ ，
∴EF ∥ B ₁ D ₁ ，且EF=
1
2 B ₁ D ₁ ，
又A ₁ A
∥
. B ₁ B，A ₁ A
∥
. D ₁ D，∴B ₁ B
∥
. D ₁ D，
∴四边形BB ₁ D ₁ D是平行四边形．
∴B ₁ D ₁ ∥ BD，EF ∥ BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B ₁ D ₁ =
2 a，EF=

2
2 a，
DF=BE=
B
B 21 + B 1 E 2 =
a 2 + (
a
2 ) 2 =

5
2 a ，
过F作FH⊥DB于H，则DH=
DB-EF
2 =

2
4 a
∴FH=
D F 2 -D H 2 =

5
4 a 2 -
2
16 a 2 =

18
16 a 2 =
3
2
4 a
四边形的面积为 S EFBD =
1
2 (EF+BD)×FH=
1
2 (

2
2 a+
2 a)×
3
2
4 a =
1
2 ×
3
2
2 ×
3
2
4 a 2 =
9
8 a 2