已知函数f（x）=alnx-x-x22，a∈R．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝
a
x−1−x＝
−(x2+x−a)
x，
当a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）内单调递减；
当a＞0，x∈(0，

1+4a−1
2)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈(

1+4a−1
2，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（6分）
（Ⅱ）当a=2时，由（Ⅰ）可知f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，fmax(x)＝f(1)＝−
3
2，即 2lnx−x−
x2
2≤−
3
2；
令g(x)＝(x−1)e−x−
x2
2+2x，x＞0，
g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知gmax(x)＝g(2)＝
1
e2+2，
所以(x−1)(e−x−x)+2lnx＜(x−1)(e−x−x)+
x2
2+x−
3
2＝(x−1)e−x−
x2
2+2x−
3
2≤
1
e2+2−
3
2＜
2
3．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性、求最值，常常与不等式联系在一起，较综合，一般比较难．