设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0.

胡来爷爷 1年前 已收到1个回答 举报
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系ffff 幼苗

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(A+B)(A+B)=A+B
A+B=E
又
(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA
=A+B+AB+BA=A+B
得
AB+BA=0
且
AB+BA=AB+B(E-B)
=AB+B-B^2
=AB
=0

1年前 追问

5

胡来爷爷 举报

A+B=E，这个是为什么呀？

举报 系ffff

不是，我做错了，这样 AB+BA=0 AB+ABA=0 AB(E+A)=0 两边乘(E+A)^(-1) AB=0

胡来爷爷 举报

AB+ABA=0？这又是为什么啊？

举报 系ffff

左乘A AB+BA=0 (A^2)B+ABA=0 AB+ABA=0 下面还要证│E+A│≠0 若A=-E A^2=A不成立
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