已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）离心率为[1/2]，短轴长为2，直线l：y=x+m，

解题思路：（1）由已知得ca＝122b＝2a2＝b2+c2，由此能求出椭圆的标准方程．（2）联立y＝x+m3x24+y2＝1，得7x2+8mx+4m2-4=0，由直线l与椭圆有公共点，得△=64m2-28（4m2-4）≥0，由此能求出实数m的取值范围．（3）联立y＝x−333x24+y2＝1，得7x2-833x-83=0，由此能求出|AB|．

（1）∵椭圆
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）离心率为[1/2]，短轴长为2，
∴


c
a＝
1
2
2b＝2
a2＝b2+c2，解得a2＝
4
3，b²=1，
∴椭圆的标准方程为
x2

4
3+y2=1．
（2）联立

y＝x+m

3x2
4+y2＝1，得7x²+8mx+4m²-4=0，
∵直线l与椭圆有公共点，
∴△=64m²-28（4m²-4）≥0，
解得-

21
3＜m＜

21
3．
∴实数m的取值范围是（-

21
3，

21
3）．
（3）∵直线l：y=x+m过椭圆右焦点F₂（

3
3，0），
∴m=-

3
3，y=x-

3
3，
联立

y＝x−

3
3

3x2
4+y2＝1，得7x²-
8
3
3x-[8/3]=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=
8
3
21，x₁x₂=-[8/21]，
∴|AB|=
(1+1)[(
8
3
21)2+
32
21]=
8
3
7．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．