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这是著名的西姆松定理,著名如下：
可以参见http://baike.baidu.com/view/344849.htm#1
证明一： △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二： 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线.
可以参见http://baike.baidu.com/view/344849.htm#1
证明一： △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二： 如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线.
1年前
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