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godb
不好意思。原来解积分少加了个【arctanx】从第七行开始看.后面【】的是另加的,其他地方不作改变 =1/2*∫(1/(1+x)dx+∫(-x+1)/(1+x^2) )dx =1/2*[∫(1/(1+x)dx+∫-x/(1+x^2) )dx+∫1/(1+x^2) )dx] =1/2*[∫(1/(1+x)dx-1/2*1/2∫1/(1+x^2) )dx^2+【arctanx】] =1/2*∫(1/(1+x)d(x+1)-1/4∫1/(1+x^2) )d(x^2+1)+【1/2*arctanx】 =1/2ln|x+1|-1/4ln(1+x^2))+【1/2*arctanx】 =1/4*2ln|x+1|-1/4ln(1+x^2))+【1/2*arctanx】 =1/4ln(|x+1|^2)-1/4ln(1+x^2))+【1/2*arctanx】 =1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2)))+【1/2*arctanx】 ∴∫(0积到正无穷)dx/(1+x)(1+x^2) =lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))-1/4ln((1+0)^2 /(1+0^2)))+【1/2*arctanx】 =lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))-1/4ln1 )+【1/2*arctanx】 =lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2)))+【1/2*arctanx】 又∵lim(x→+∞)(1+x)^2 /(1+x^2) 为∞/∞型。用洛必达求导 lim(x→+∞)(1+x)^2 /(1+x^2)=lim(x→+∞)2(1+x) /2x=lim(x→+∞)(1/x +1)=1 ∴原式=lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2)))+【1/2*arctanx】=1/4ln1+1/2*∏/2=0+∏/4=∏/4