如图1，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，点C在y轴上，且OC=2，OA：OB=1：4，抛物线y=ax 2 +bx+c经

（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△OAC ∽ △GCF．
∴
OA
OC =
OC
OB ，即OC ² =OA•OB
∵OA：OB=1：4，OC=2
∴OA=1，OB=4
∴A（-1，0），B（4，0）
设抛物线的解析式是y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）坐标代入
得2=a（0+1）（0-4），a=-
1
2 ，
∴抛物线的解析式是y=-
1
2 （x+1）（x+4）=-
1
2 x ² +
3
2 x+2．

（2）由B（4，0）、C（0，2）得直线BC解析式为y=-
1
2 x+2；
当直线y=x+b过点A时，b=1，由

y=x+1
y=-
1
2 x+2 ，
得交点H（
2
3 ，
5
3 ），
则S _△ABH =
1
2 ×5×
5
3 =
25
6 ＞
3
10 ×5
S _△ACH =S _△ABC -S _△ABH =
5
6 ＜
3
10 ×5
∴直线y=x+b只能与BC相交．
直线y=x+b与x轴交于点G（-b，0），BG=4+b，
解方程组

y=x+b
y=-
1
2 x+2 ．
得H（
4-2b
3 ，
4+b
3 ）
根据题意得
1
2 （4+b）×
4+b
3 =
3
10 ×（
1
2 ×5×2）
解得b=-1或b=-7
经检验，b=-7都是原方程的根，不符合题意舍去．
∴b=-1．

（3）根据题意得MQ ∥ OE，NQ ∥ OF
且MQ=OE=1，NQ=OF=2，
设M（t， -
1
2 t 2 +
3
2 t+2 ），
则N（t+2， -
1
2 t 2 +
3
2 t+1 ）
于是 -
1
2 t 2 +
3
2 t+1 -（ -
1
2 (t+2 ) 2 +
3
2 (t+2)+2 t）=1
∴M（1，3），N（2，1）

1年前