津臣ss策划
幼苗
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(Ⅰ)因为fn(x)=(1+x)n,
所以f2011(x)=(1+x)2011,
又f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011,
所以f2011(1)=a0+a1+…+a2011=22011(1)
f2011(-1)=a0-a1+…+a2010-a2011=0(2)
(1)-(2)得:2(a1+a3+…+a2009+a2011)=22011
所以:a1+a3+…+a2009+a2011=f2011(1)=22010(2分)
(Ⅱ)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),
所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8
g(x)中含x6项的系数为1+2×C76+3C86=99(4分)
(Ⅲ)设h(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+…+n(1+x)m+n-1(1)
则函数h(x)中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m(7分)
(1+x)h(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2++n(1+x)m+n(2)
(1)-(2)得-xh(x)=(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2++(1+x)m+n-1-n(1+x)m+n−xh(x)=
(1+x)m[1−(1+x)n]
1−(1+x)−n(1+x)m+n
x2h(x)=(1+x)m-(1+x)m+n+nx(1+x)m+n
h(x)中含xm项的系数,即是等式左边含xm+2项的系数,
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1
=−
(m+n)!
(m+2)!(n−2)!+
n(m+n)!
(m+1)!(n−1)!
=
−(n−1)+n(m+2)
m+2×
(m+n)!
(m+1)!(n−1)!
=
(m+1)n+1
m+2
Cm+1m+n
所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=
(m+1)n+1
m+2
Cm+1m+n(13分)
1年前
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