曲线积分的含义比如像是∫L f(x,y) ds先作出函数z=f(x,y)的图像,然后用L这条曲线沿z方向去截这个图像与x

曲线积分的含义
比如像是∫L f(x,y) ds
先作出函数z=f(x,y)的图像,然后用L这条曲线沿z方向去截这个图像与xy平面所夹立体图形
积分所表示的含义是否就是截面面积?

papi888 1年前已收到2个回答举报

梦幻靓哥春芽

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不是,要表示这个截面的面积,这个ds应该是L在xoy上的投影dl才对.

1年前追问

papi888 举报

那举个例子好了
假设曲线L为y=x²
f(x,y)=1
那么，∫L f(x,y) ds 的算式是什么样的？

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你这个曲线，不要找平面曲线，要找空间曲线才有代表性。
这个L是平面曲线，他在平面上的投影就是他自己。ds=dl。这是个特例啊
这个表示的确实是柱面的面积。
我明白你的意思了，你是想把空间曲线s向上垂直延伸，变成柱面，然后用他去截f(x,y),
然后求夹在s和f(x,y)之间的柱面是吧，还真不是这么求。
设s: z=u(x,y)，然后s在xoy面上的投影为L，
截面面积S=∫ |f(x,y)-u(x,y)|dL

papi888 举报

那曲线积分是求曲线长度吗？

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不是，是求曲线的质量。那个f(x,y)是曲线密度。

papi888 举报

我查了一下例题，查到一个这个
L:y=x²(0∫L x ds=∫(0,1) x*√(1+4x²)dx
那么这个x就是f(x,y)了对吧，√(1+4x²)也就是sec
这个积分就是在求曲面面积啊

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什么意思？？
sec是什么

papi888 举报

y'不是tan么，sec不就是那个切线长
总之这个结果应该是曲面面积吧

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sec dx=dx/cos.这个不是曲线微元dl么

papi888 举报

不知道这些字母是表示什么含义，但是
f(x,y)是高，√(1+y'²)*dx是d(底)，乘起来不就是d(面积)么

举报梦幻靓哥

sec不是正切么，他不是等于余弦的倒数么，sec=1/cos，然后水平微元dx除以夹角的余弦，
得到的就是曲线长的微元dl
只有底和高是垂直的时候，才能这么求面积的。你见过三角形的两条邻边相乘求面积的么？？
这个x和√(1+4x²)并不垂直啊。
所以对于z方向的高，乘以水平面的投影，然后积分，才是求面积。

papi888 举报

怎么会不垂直呢
z=f(x,y)=x
这个x是z的取值啊
z轴和xy面自然是垂直的
不管怎么说，从结果数值上来看，它的值等于面积的值啊

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早跟你说了，s要选空间曲线。不要选xoy面上的么，这不具有代表性。
∫xds, 如果s是空间曲线，还垂直么？？

papi888 举报

能举个例子么？
选空间曲线不就超三维了么
不管怎么样垂直是必然的啊

举报梦幻靓哥

不超过三维啊，第一类曲线积分是求质量。空间曲线的质量。
x=y=z这条空间直线为s，
那么∫zds
还垂直么？？
哥。满意请采纳，不懂欢迎追问。