已知△ABC是边长为1的正三角形,点D不在平面ABC内,且AD=BD=CD=1.若E,F分别是BD,AC的中点,求异面直
已知△ABC是边长为1的正三角形,点D不在平面ABC内,且AD=BD=CD=1.若E,F分别是BD,AC的中点,求异面直线BF与CE所成角的大小
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赞 纯洁滴心 幼苗
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连接DF,取DF中点O,连接EO,
因为E为BD的中点,在三角形BFD中,EO直线平分DB与DF,故EO∥BF
因此∠CEO就为异面直线BF与CE所成角
在△BCD中,BC=CD=BD=1,E为BD中点,可求得CE=√[1²-(1/2)²]=√3/2
同理可求得BF=√3/2,DF=√3/2
又因为△DEO∽△DBF ,因此EO/BF=AE/AB=(1/2)/1,解得EO=√3/4
因为O为DF中点,所以FO=(1/2)DF=√3/4,FC=1/2
在Rt△CFO中可求得CO=√(FC²+FO²)=√[(1/2)²+(√3/4)²]=√7/4
因此在△FCO中,EC=√3/2,EO=√3/4,CO=√7/4
应用余弦定理可得
cos∠CEO=(EC²+EO²-CO²)/(2EC*EO)
带入数值解得
cos∠CEO=2/3
故∠CEO=arccos2/3
即异面直线BF与CE所成角为arccos2/3
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因为E为BD的中点,在三角形BFD中,EO直线平分DB与DF,故EO∥BF
因此∠CEO就为异面直线BF与CE所成角
在△BCD中,BC=CD=BD=1,E为BD中点,可求得CE=√[1²-(1/2)²]=√3/2
同理可求得BF=√3/2,DF=√3/2
又因为△DEO∽△DBF ,因此EO/BF=AE/AB=(1/2)/1,解得EO=√3/4
因为O为DF中点,所以FO=(1/2)DF=√3/4,FC=1/2
在Rt△CFO中可求得CO=√(FC²+FO²)=√[(1/2)²+(√3/4)²]=√7/4
因此在△FCO中,EC=√3/2,EO=√3/4,CO=√7/4
应用余弦定理可得
cos∠CEO=(EC²+EO²-CO²)/(2EC*EO)
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故∠CEO=arccos2/3
即异面直线BF与CE所成角为arccos2/3
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