在△ABC中,DE//BC,△ABC的内切圆与BC、DE分别切于M、N点,BE与CD交于P点.证明：M,N,P三点共线.

令△ABC内切圆的圆心为O,⊙O分别切AC、AB于F、G.
∵MO⊥BC、NO⊥DE,又BC∥DE,∴M、O、N共线,
∴∠GON＋∠GOM＝∠FON＋∠FOM＝180°.
容易证得：∠DOG＝∠GON/2、∠BOG＝∠GOM/2、∠EOF＝∠FON/2、∠COF＝∠FOM/2.
∴∠BOD＝∠DOG＋∠BOG＝（∠GON＋∠GOM）/2＝90°,
　∴COE＝∠EOF＋∠COF＝（∠FON＋∠FOM）/2＝90°.
∴由射影定理,有：GO^2＝DG×BG、FO^2＝EF×CF,显然有：GO＝FO,
∴DG×BG＝EF×CF,∴DG/CF＝EF/BG.
由切线长定理,有：DN＝DG、BG＝BM、EN＝EF、CM＝CF.
∴DN/CM＝EN/BM.······①
设BE、CD分别与MN交于Q、R.
∵DN∥MC,∴△RDN∽△RCM,∴NR/MR＝DN/CM.······②
∵NE∥BM,∴△QEN∽△QBM,∴NQ/MQ＝EN/BM.······③
由①、②、③,得：NR/MR＝NQ/MQ,∴Q、R重合,即BE、CD、MN共点,
∵BE、CD相交于P,而BE、CD、MN共点,∴M、N、P三点共线.