如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F
如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半
圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．
圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．
赞 园月天 幼苗
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解题思路：（1）先作辅助线，连接OF，证明四边形OBCF是平行四边形，得出DE∥CF；
（2）利用相似比求OB的长，
（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离．
（2）利用相似比求OB的长，
（3）由题意得到点B所在的两个极值位置，求出点B移动的最大距离．
（1）证明：连接OF，
∵AB切半圆O于点F，OF是半径，
∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC，
∴OF∥BC，
∵BC=OE，OE=OF，
∴BC=OF，
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DE∥CF；
（2）若△OBF∽△ACB，
∴[OB/OF]=[AC/AB]，
∴OB=[AC•OF/AB]，
∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，
∴AC=4，AB=2
3．
又∵OF=OE=2，
∴OB=
4×2
2
3=
4
3
3；
若△BOF∽△ACB，
∴[OB/OF]=[AC/BC]，
∴OB=[AC•OF/BC]，
∴OB=[4×2/2]=4；
综上，OB=
4
3
3或4；
（3）画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长，
∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，
∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2．
点评：
本题考点： 切线的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题利用了平行四边形的判定和性质，切线的性质等知识解决问题．
1年前
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