（2012•东城区模拟）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(12，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
（2012•东城区模拟）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(
，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x0，y0）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x0+2，-y0）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．
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（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x0，y0）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x0+2，-y0）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．
赞 pinw 春芽
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解题思路：（1）利用抛物线的定义即可得出；
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0．利用根与系数的关系及斜率计算公式即可证明；
（3）利用（2）的结论，只要定点满足△≥0即可．
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0．利用根与系数的关系及斜率计算公式即可证明；
（3）利用（2）的结论，只要定点满足△≥0即可．
（1）由题意可设抛物线的方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得[p/2+
1
2＝1，即p=1，
所以抛物线的方程为 y2=2x．
（2）由题意知直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x=my+n，代入y2=2x中得 y2-2my-2n=0．
所以y1+y2=2m，y1y2=-2n，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标，
因为MP⊥MQ，所以kMP•kMQ=-1．
即
y1−y0
x1−x0•
y2−y0
x2−x0＝−1，所以（y1+y0）（y2+y0）=-4．
y1•y2+(y1+y2)y0+y02+4＝0，（-2n）+2my0+2x0+4=0，即n=my0+x0+2．
所以直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2，
即x=m（y+y0）+x0+2，它一定过定点（x0+2，-y0）．
（3）假设N（x0，y0）为满足条件的点，则由（2）知，点（x0+2，-y0）在直线x+my+1=0上，
所以x0+2−my0+1＝0，(x0，y0)是方程组
y2＝2x
x−my+3＝0]的解，
消去x得y2-2my+6=0，△=4m2-24≥0所以存在点N满足条件．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．
考点点评： 本题综合考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、斜率的计算公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
1年前
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