（2008•无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个
（2008•无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
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解题思路：（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；
（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．
（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．
（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为
1
2•30
2＝15
2＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE=
312−302＝
61，DE＝30−
61，
∴DO=
(30−
61)2+152≈26.8＜31，即如此安装三个这个转发装置，
能达到预设要求．（6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设⊙O经过A，B，⊙O与AD交于E，连BE，则AE=
点评：
本题考点： 作图—应用与设计作图．
考点点评： 解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．
1年前
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