设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P(X＝0)＝13，P(X＝1)＝23，且X，Y的相关系数ρXY＝12．

解题思路：（1）求解二维随机变量的联合概率分布，需要注意到，X与Y不是相互独立的；（2）在求概率过程中注意到P（X+Y≤1）=1-P（X+Y＞1），以及P（X+Y＞1）=P（X=1，Y=1）．

（1）
由于X，Y的概率分布相同，
故：P(X＝0)＝
1
3，P(X＝1)＝
2
3，P(Y＝0)＝
1
3，P(Y＝1)＝
2
3，
显然：EX＝EY＝
2
3，DX＝DY＝
2
9，
相关系数：ρXY＝
1
2＝
COV(X，Y)

DX
DY＝
E(XY)−EXEY

DX
DY＝
E(XY)−
4
9

2
9，
所以：E(XY)＝
5
9．
而：E（XY）=1×1×P（X=1，Y=1），
所以：P(X＝1，Y＝1)＝
5
9，
从而：
P（X=1，Y=0）=P（X=1）-P（X=1，Y=1）=[1/9]，
P（X=0，Y=1）=P（Y=1）-P（X=1，Y=1）=[1/9]，
P（X=0，Y=0）=P（X=0）-P（X=0，Y=1）=[2/9]．
综上可得，（X，Y）的联合概率分布为：
P(X＝1，Y＝1)＝
5
9，P(X＝0，Y＝1)＝
1
9，P(X＝1，Y＝0)＝
1
9，P(X＝0，Y＝0)＝
2
9．

（2）
由（1）可得：
P(X+Y≤1)＝1−P(X+Y＞1)＝1−P(X＝1，Y＝1)＝
4
9．

点评：
本题考点： 二维离散型随机变量的分布律；对立事件（逆事件）；二维随机变量的分布函数；多个离散型随机变量函数的数学期望公式．

考点点评： 本题计算中需要注意的是，X与Y不是相互独立的，故在联合概率密度的计算中，不能利用独立事件的概率计算公式．