做好二元一次方程解法的最好方法?

【典型例题】
　　例1. 下列各方程中,哪个是二元一次方程?
　　（1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x－y＝9；（4）＝2.
　　分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2,而不是1,所以xy＝3不是二元一次方程；同理2x－y＝9也不是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式,所以＝2也不是二元一次方程.
　　方程8x－y＝y是二元一次方程；方程xy＝3,2x－y＝9,＝2都不是二元一次方程.
　　评析：判定某个方程是不是二元一次方程,可先把它化成一般形式,再根据定义进行判断.
　　例2. 已知是方程组的解,求m＋n的值.
　　分析：因为是方程组的解,所以同时满足方程①和方程②,将分别代入方程①和方程②,可得由③和④可求出m、n的值.
　　因为是方程组的解,所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立,即解得所以m＋n＝－1＋0＝－1.
　　评析：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法,并加深理解方程组的解的意义.
　　例3. 写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.
　　分析：为了求解方便,先将原方程变形为y＝20－4x,由于题中所要求的解限定于“正整数解”,所以x和y的值都必须是正整数.
　　将原方程变形,得y＝20－4x,因为x、y均为正整数,所以x只能取小于5的正整数.
　　当x＝1时,y＝16；当x＝2时,y＝12；当x＝3时,y＝8；当x＝4时,y＝4.
　　即4x＋y＝20的所有正整数解是：
　　,.
　　评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正确,二要不重不漏. “正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数,且适合此方程.
　　例4. 已知5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0,求x和y的值.
　　分析：根据绝对值和平方的意义可知,5︱x＋y－3︱≥0,（x－2y）≥0,由已知条件5︱x＋y－3︱＋（x－2y）＝0可得即从而可求出x和y的值.
　　由题意得即解得.
　　评析：非负值相加为零,有且只有它们同时为零.
　　例5. 用代入法解方程组：
　　分析：选择其中一个方程,将其变形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式,代入另一个方程求解. 方程①中x、y系数相对较小,考虑到x＝3－y,而y＝,显然在下面计算中x＝3－y代入方程②计算简捷.
　　由①得：x＝3－y ③
　　把③代入②得：8（3－y）＋3y＋1＝0
　　解得：y＝125
　　将y＝125代入③,得：x＝－47
　　所以这个方程组的解为
　　评析：用代入法解方程组时,（1）选择变形的方程要尽可能较简单,表示的代数式也应尽可能简捷. （2）要对下面的计算进行预见、估计、以选择较好的方法.
　　例6. 用加减消元法解方程组
　　分析：题中x、y系数不相同,也不是互为相反数；x的系数为4和6,y的系数为3和－4,它们的最小公倍数均为12,都可以变为12或－12,选择消去x,还是消去y,其难易程度相当.
　　①×3得：12x＋9y＝27 ③
　　②×2得：12x－8y＝10 ④
　　③－④得：17y＝17,解得y＝1
　　把y＝1代入①得：x＝
　　所以原方程组的解为
　　评析：此题中在选择消去x,还是消去y,关键是：（1）看系数是否有倍数关系,如一个为2x,一个为6x,可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下,看x、y系数的最小公倍数哪一个较小,通常消最小公倍数较小的未知数.
　　【方法总结】
　　1. 二元一次方程与一元一次方程有很多类似的地方,学习时可运用类比的思想方法,比较二元一次方程与一元一次方程有关概念的相同点和不同点. 这样,不但能加深对概念的理解,提高对“元”和“次”的认识,而且能够逐步培养类比分析和归纳、概括的能力.
　　2. 方程组中的两个未知数一般是不能同时求出来的,必须先想办法消去一个未知数,把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题,这种思想方法就叫做“消元法”. 解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将“二元”转化为“一元”. 代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法,必须灵活运用.