（2005•天津）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B

（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H．
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角．
∵∠A₁AB=∠A₁AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A₁A⊥BC．
∵A₁A∥B₁B，且EG∥B₁B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A₁AGE为平行四边形，得∠A₁AG=60°．

（Ⅱ）证明：设EG与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E∥FP．
而FP⊂平面B₁FC，A₁E⊄平面B₁FC，所以A₁E∥平面B₁FC．
（Ⅲ）连接A₁C．在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AB=∠A₁AC，A₁A=A₁A，
则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B．由已知得A₁A=A₁B=A₁C=a．
又∵A₁H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A．
在Rt△A₁FO中，A₁O=
A1F
cosAA1H=

1
2a
cos30°=

3a
3．
故所求球的半径R=

3
3a，球的体积V=[4/3]πR³=
4
3
27πa³．

点评：
本题考点： 棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与欧美所成的角等有关知识，是难题．