数值分析--非线性方程求根的数值解法问题

换一种解释，仍然记F(x)=√(2+x)，则f(x)=x-F(x)
假设方程f(x)=0的根为x=s，即f(s)=s-F(s)=0
则s=F(s)　 ①
迭代格式x_(n+1)=F(x_n) _表示下标　 ②
由①②得到第n+1次迭代值x_(n+1)与精确值s之差为x_(n+1)-s= F(x_n)-F(s)
由拉格朗日中值定理，x_(n+1)-s=F’(ξ)*(x_n-s)
其中，ξ在x_n与s之间

由此，|x_(n+1)-s|/| x_n-s |= |F’(ξ)|
要保证{x_n}收敛，就必须使第n+1次迭代值的误差绝对值|x_(n+1)-s|比第n次迭代值的误差绝对值| x_n-s |小
因此，只要|F’(ξ)|<1就行
也就是证明方程f(x)=0的等价形式x=F(x)在根所在区间上满足|F’(x)|<1即可

回到本题
显然，f(x)在[0,7]上连续，且f(0)=-√2<0，f(7)=4>0
由连续函数介值定理，方程f(x)=0在[0,7]上有实根
在[0,7]上，F’(x)=1/[2*√(2+x)]≤1/(2*√2)<1
证毕

以上证明可以简化为对三个条件的证明：
(1)f(x)在[a,b]上连续；
(2)f(x)在[a,b]的两个端点上的函数值异号，即f(a)*f(b)<0；
(3)方程f(x)=0的等价形式x=F(x)在[a,b]上满足|F’(x)|<1

则在[a,b]上任取一个初值x_0，用迭代格式x_(n+1)=F(x_n)计算得到的近似值序列x_0，x_1= F(x_0) ，x_2= F(x_1)，...收敛，且收敛于方程f(x)=0的根．

我估计你是纠结于你所给出的定理中的条件(1)为何与我写的不同．
其实并不矛盾，你给出的条件(1)与我写的
(1)f(x)在[a,b]上连续；
(2)f(x)在[a,b]的两个端点上的函数值异号，即f(a)*f(b)<0
都起到同一个作用：证明根的存在性

定理条件(1)可以这样解释：由a≤x≤b以及a≤φ(x)≤b，得到
f(b)=b-φ(b)≥0
f(a)=a-φ(a)≤0
以上两式若有一个取到等号说明端点即为所求的实根；
若两个都取不到等号，由介值定理，存在至少实根．
而对于根的唯一性则可通过条件(2)证明．

事实上对于根所在区间的选取并没有唯一的标准，在做具体数值计算时（编写迭代程序）首先保证在某区间上根是存在的，其次，|F’(x)|<1即可（这一块的学习建议多联系几何意义）．
定理条件(1)将φ(x)限定在[a,b]只是提供了根存在的一个充分条件，但不是必要条件．并且找出这样的[a,b]比较费事，简单方法就是寻找满足介值定理条的区间．
本题中，选取区间[0,2]可以，[0,3]，[0,7]，...也都可以．即在[0,A](A≥2)上任取一点x0作为初值进行迭代都是可行的．