已知数列{an}中,a(n+1)=an+2n,n∈正整数,a1=0.（1）求{an}的通项公式.（2）求数列{1/（an
已知数列{an}中,a(n+1)=an+2n,n∈正整数,a1=0.（1）求{an}的通项公式.（2）求数列{1/（an+2n）}的前n项和Sn.
赞 陈逸1 幼苗
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(1)
a(n+1)=an +2n
a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2[1+2+...+(n-1)]
an=a1+2[1+2+...+(n-1)]=0+2n(n-1)/2=n²-n
n=1时,a1=1-1=0,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=n²-n.
(2)
1/(an+2n)=1/(n²-n+2n)=1/(n²+n)=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
Sn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
a(n+1)=an +2n
a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2[1+2+...+(n-1)]
an=a1+2[1+2+...+(n-1)]=0+2n(n-1)/2=n²-n
n=1时,a1=1-1=0,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=n²-n.
(2)
1/(an+2n)=1/(n²-n+2n)=1/(n²+n)=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
Sn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
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