如图甲,在平面四边形ABCD中,已知角A=45度,角C=90度,角ADC=105度,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD

（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°,∠ABD=90°
即AB⊥BD（2分）
在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD．（4分）
又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B
∴DC⊥平面ABC．（5分）
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF∥CD,又由（1）知,DC⊥平面ABC,
∴EF⊥平面ABC,垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分）
在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30°
设CD=a则BD=2a,BC=
3
a,BF=
2
BD=2
2
a,EF=
1
2
CD=
1
2
a-（9分）
∴在Rt△FEB中,sin∠FBE=
EF
FB
=
1
2
a
2
a
=
2

4
即BF与平面ABC所成角的正弦值为
2

4
．（10分）
解法2：如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示,
设CD=a,则BD=AB=2a,BC=
3
a,AD=2
2
a（6分）
可得B（0,0,0）,D（2a,0,0）,A（0,0,2a）,C(
3
2
a,
3

2
a,0),F（a,0,a）,
∴

CD
=(
1
2
a,-
3

2
a,0),

BF
=(a,0,a)（8分）
设BF与平面ABC所成的角为θ
由（1）知DC⊥平面ABC
∴cos(
π
2
-θ)=

CD
•

BF

|

CD
|•|

BF|

=
1
2
a2
a•
2
a
=
2

4
∴sinθ=
2

4
（10分）
（3）由（2）知FE⊥平面ABC,
又∵BE⊂平面ABC,AE⊂平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分）
在△AEB中,AE=BE=
1
2
AC=
1
2
AB2+BC2
=
7

2
a
∴cos∠AEB=
AE2+BE2-AB2
2AE•BE
=-
1
7
即所求二面角B-EF-A的余弦为-
1
7
．（14分）（其他解法请参照给分）