已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，当n≥2时，都有an=an-1+2n-1，记Tn＝1a1+1a2+…+1an

解题思路：（Ⅰ）当n≥2时，利用a_n=a_n-1+2n-1，写出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（Ⅲ）先计算当n=1时，

n

3n−1

＝1＞

3

4

＝Bn；当n=2时，

n

3n−1

＝

2

3

＝Bn；当n=3时，

n

3n−1

＝

1

3

＜

5

8

＝Bn；
猜想当n≥3时，

n

3n−1

＜Bn，再用数学归纳法证明．

（Ⅰ）当n≥2时，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×
(n−1)(2+n)/2−(n−1)
∴an＝n2．
又当n=1时，a₁=1满足上式，故an＝n2．
（Ⅱ）证明：Tn＝1+
1
22+
1
32+…+
1
n2]＜1+
1
1×2+
1
2×3+…+
1
(n−1)×n
=1+1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−1−
1
n＝2−
1
n＜2．
（Ⅲ）bn＝1−
1
(n+1)2＝
n(n+2)
(n+1)2，Bn＝
1×3
22•
2×4
32•
3×5
42…
n(n+2)
(n+1)2＝
n+2
2(n+1)，
当n=1时，
n
3n−1＝1＞
3
4＝Bn；
当n=2时，
n
3n−1＝
2
3＝Bn；
当n=3时，
n
3n−1

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题以数列递推式为载体，考查数列的通项公式，考查不等式的证明，同时考查裂项法，数学归纳法的运用，先猜后证是关键．