如图，已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设D为抛物线的顶点

解题思路：（1）根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=3OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）因为S_△PAC=2S_△DAC，所以点P到AC的距离是点D到AC的距离的两倍，先过D点作AC的平行线，求出这条平行线与x轴交点的坐标，然后确定点P的坐标．
（3）分别从MQ⊥DQ（△MDQ∽△BDO或△MDQ∽△DBO）与DM⊥QM（△DMQ∽△DOB或△DMQ∽△BOD）去分析，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的知识，即可求得所有符合条件的Q点的坐标．

（1）由y=ax²-2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依题意有：

a+2a+b＝0
b＝3，
解得

a＝−1
b＝3；
∴y=-x²+2x+3，
答：抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）∵A（-1，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=3x+3，
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（1，4），
设过点D与AC平行的直线的解析式为：y=3x+b，
把点D的坐标代入得：b=1，
∴y=3x+1，
当y=0时，x=-[1/3]，设这个点为E（-[1/3]，0），
∴AE=[2/3]．
∵S_△PAC=2S_△DAC，
∴AP=2AE=[4/3]，
∴P（[1/3]，0）或（-[7/3]，0）．

（3）存在．
设M的坐标为（x，-x²+2x+3），
①过点M作MQ⊥抛物线的对称轴于Q，
∴点Q的坐标为（1，-x²+2x+3），
∴MQ=1-x，DQ=4-（-x²+2x+3）=x²-2x+1，
∵OB=3-1=2，OD=4，
若△MDQ∽△BDO，
则[DQ/DO＝
MQ
BO]，
即：
x2−2x+1
4＝
1−x
2，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴点Q的坐标为（1，0）；
若△MDQ∽△DBO，
则[DQ/BO＝
MQ
DO]，
即：
x2−2x+1
2＝
1−x
4，
解得：x₃=1（舍去），x₄=[1/2]，
∴点Q的坐标为（1，[15/4]）；
②若∠DMQ=90°，
过M作ME⊥DQ于E，
若△DMQ∽△DOB，
则∠MDQ=∠BDO，∠MQD=∠DBO，
∴tan∠MDQ=tan∠BDO，
即[ME/DE＝
OB
OD]，
∴[1−x
x2−2x+1＝
2/4]，
解得：x₁=1（舍去），x₂=-1，
∴DE=x²-2x+1=4，
∴ME=2，
同理可得：EQ=1，
∴QD=5，
∴OQ=1，
∴Q的坐标为（1，-1）；
若△DMQ∽△BOD，
则∠MDQ=∠DBO，∠MQD=∠BDO，
∴tan∠MDQ=tan∠DBO，
即[ME/DE＝
OD
OB]，
∴[1−x
x2−2x+1＝
4/2]，
解得：x₃=1（舍去），x₄=[1/2]，
∴DE=x²-2x+1=[1/4]，
∴ME=[1/2]，
同理可得：EQ=1，
∴QD=[3/2]，
OQ=4-[3/2]=[5/2]，
∴Q的坐标为（1，[5/2]）；
综上，可知Q点的坐标为：（1，0），（1，[15/4]），（1，-1），（1，[5/2]）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求出二次函数的解析式，利用三角形的面积和一次函数的性质确定点P的坐标，相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．