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由题知,A=[2,-1;-1 ,2]; A^2=[5,-4;-4 ,5]; A^3=[14,-13;-13 ,14]
假设A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2 ,(3^n+1)/2],则n=1,2,3时成立.
运用数学归纳法,假定n=k-1时成立,即A^(k-1)=[(3^(k-1)+1)/2,-(3^(k-1)-1)/2;-(3^(k-1)-1)/2 ,(3^(k-1)+1)/2]
当n=k 时,A^k=A^(k-1)*A=[(3^k+1)/2,-(3^k-1)/2;-(3^k-1)/2 ,(3^k+1)/2]
所以,有数学归纳法知 A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2 ,(3^n+1)/2]
假设A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2 ,(3^n+1)/2],则n=1,2,3时成立.
运用数学归纳法,假定n=k-1时成立,即A^(k-1)=[(3^(k-1)+1)/2,-(3^(k-1)-1)/2;-(3^(k-1)-1)/2 ,(3^(k-1)+1)/2]
当n=k 时,A^k=A^(k-1)*A=[(3^k+1)/2,-(3^k-1)/2;-(3^k-1)/2 ,(3^k+1)/2]
所以,有数学归纳法知 A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2 ,(3^n+1)/2]
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