在四棱锥P—ABCD中,底面四边形的边长为AB=AD=2根号3,BC=CD=2,∠BAD＝60°；且PA⊥平面ABCD,
在四棱锥P—ABCD中,底面四边形的边长为AB=AD=2根号3,BC=CD=2,∠BAD＝60°；且PA⊥平面ABCD,PA＝4,M,N
分别为PB,PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)若 PA＝4,过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
(Ⅲ)若 PA＝2AB,过点A作∠PAC的角平分线,交PC于T,求二面角A—MN—T的平面角的余弦值．
上面是 M ,N 分别是PB，PD中点
分别为PB,PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)若 PA＝4,过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
(Ⅲ)若 PA＝2AB,过点A作∠PAC的角平分线,交PC于T,求二面角A—MN—T的平面角的余弦值．
上面是 M ,N 分别是PB，PD中点
赞 共回答了22个问题采纳率：86.4% 举报
1、 取PC中点E,连结ME、NE,
∵ME是△PBC的中位线,
∴ME//BC,
同理,NE是△PCD中位线,NE//CD,
∵ME∩NE=E,BC∩CD=C,
∴平面MNE//平面ABCD,
∵MN∈平面MNE,
∴MN//平面ABCD.
2、∵AD=AB=2√3,〈DAB=60°,
∴△ABD是正△,
∴BD=2√3,
取BD中点F,连结AF、CF,
根据等腰三角形三线合一,AF⊥BD,CF⊥BD,
A、F、C三点共线,
DF=BF=√3,
∴CF=1,
AF=√3BF=3,
∴AC=4,
∴AC=AP,△PAC是等腰RT△,
PC=4√2,
∵AQ⊥PC,
∴Q是PC中点,AQ=PC/2=2√2,
根据勾股定理,PB=PD=2√7,
AM和AN分别是RT△PAB和RT△PAD斜边的中线,
∴AM=AN=√7,
MN=BD/2=√3,
取MN的中点G,连结AG、QG,
MQ=NQ=BC/2=1,
AG=√[AM^2-(MN/2)^2]=5/2,
QG=√[MQ^2-(MN/2)^2]=√（1-3/4）=1/2,
∵AG⊥MN,QG⊥MN,
∴〈AGQ是二面角A-MN-Q的平面角,
在△AGQ中,根据余弦定理,
cos
∴二面角A-MN-Q平面角的余弦为-3/5.
3、方法同第二题,但T不在PC中点,
△PAC是含30度的RT△,PB=PD=2√15,AM=AN=√15,
PC=8,MN=BD/2=√3,
PT=12-4√3,CT=4√3-4,
AT=2√6-2√2,
〈AGT是二面角A-MN-T的平面角,
cos
再用余弦定理求出△AGT中的〈AGT的余弦值,无理数太复杂,可用计算器去做,
方法大致如此,再给你附一张图.
用向量可设A为原点,A（0,0,0）,B（2√3.0.0）,C（2√3,2,0）,
D（√3,3,0）,P（0,0,4√3）,
,M（√3,0,2√3）,N（√3/2,3/2,2√3）,
T（3√3-3,3-√3,6-2√3,求出二半平面的法向量,即可求出二面角的值.
1年前 追问
9
设A为原点，A（0，0，0），B（2√3，0，0），C（2√3，2，0）， D（√3，3，0），P（0，0，4），，M（√3，0，2），N（√3/2，3/2，2），Q（√3，1，2）， 设平面AMN法向量为n1=(x1,y1,1), 向量AM=（√3，0，2），AN=（√3/2，3/2，2）， n1·AM=√3x1+2=0,x1=-2/√3， n1·AN=（√3/2）*（-2/√3）+3y1/2+2=0, y1=-2/3, ∴n1=(-2/√3，-2/3，1)， 设平面QMN法向量为n2=(x2,y2,1), 向量MQ=（0，1，0），NQ=（√3/2，-1/2，0）， n2·MQ=y2=0, n2·NQ=√3x2/2+0+0, x2=0, ∴n2=(0,0,1), n1·n2=0+0+1=1, |n1|=5/3,|n2|=1, 设二面角平面角为θ，则二法向量夹角为θ1， cosθ1=n1·n2/|n1|*|n2| =1/[(5/3)*1] =3/5, ∴cosθ=-3/5.
可能相似的问题
你能帮帮他们吗