考研数学题双中值?设函数f(x)在【0,1】上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=f(1),常数λ＞0,μ＞0.求证：

额,湿弟,我也凑个热闹讨论一下吧.
思路一： 遇见这个问题,若没有头绪,不妨使用逆推法. 由题中条件和λf'(ζ)+μf'(η)=0可得： f'(ζ)=-μ/λf'(η)对此做一个变形 f'(ζ)=-μ（λ+μ）/λ（λ+μ）f'(η)移项得 λ/（λ+μ）f'(ζ) +μ/（λ+μ）f'(η)=0令 k=λ/(λ+μ)可知μ/（λ+μ）=1-k即 上面的问题等价于求证 kf'(ζ)+（1-k）f'(η)=0则可以构造函数 F(x)=kf(x),G(x)=(1-k)f(x)有题中条件可知这两个函数都满足拉格朗日定理,从而由定理可知： 在（0,1）内存在点ζ使得 F'(ζ)=0,即kf'(ζ)=0 在（0,1）内存在点η使得 G‘(η)=0,即(1-k)f’(η)=0从而可得.
思路二： 看到题目后,直接构造函数（其实和上一种思路简直就一样）. 构造函数 F(x)= λ/（λ+μ）f(x), G(x)=μ/（λ+μ）f(x)有题中条件可知这两个函数都满足拉格朗日定理,从而由定理可知： 在（0,1）内存在点ζ使得 F'(ζ)=0,即λ/（λ+μ）f'(ζ)=0 在（0,1）内存在点η使得 G‘(η)=0,即μ/（λ+μ）f’(η)=0从而可得在（0,1）内存在两点ζ与η,使得 λ/（λ+μ）f'(ζ)+μ/（λ+μ）f’(η)=0 消去1/（λ+μ） 即得 λf'(ζ)+μf'(η)=0 嗯,可以看图：是说在（0,1）内存在两点ζ与η,设两点对应曲线的斜率分别为k1,k2,则有： k1+nk2=0,即 k1=-nk2 是这个意思.这是从几何意义上看的. 第二种,若是熟练的话,应该可以比较快的搞出来的,不用怎么费劲,关键从问题出发,同时注意充分利用题目给出的条件. 我前面证明的我觉着将几何意义体现的并不明显,也不知道答案是咋整滴. 一年多没碰课本,没再搭理这些东西了,也不清楚我说的这些是否有用,不知所云.在此,祝考研成功!~~

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理
　　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
代入题中，就是f'(ζ)=f(1)-f(0)，
同理，也存在f'(η)=f(1)-f(0)，
因为题中给出f(0)=f(1)，
所以f'(ζ)=f'(η)=0
所以λf'(ζ)+μf'(η)...