一个面积为3√15的三角形,有两条长分别为3和6的中线,求第三条中线的长度.

如图,我们向同一方向延长中线,设F为各中线的交点.
所以F为重心,根据重心定理,F到各顶点的距离是对应边距离的2倍,设另一条中线长是3x,这样我们把各线段的距离标识如图.
通过多个边与高的关系,我们容易证明 （根据多对三角形之间高相等,面积比=底边比来证明）
SΔDEF=SΔABC*4/3=4√15
这样,问题就变成在ΔDEF中,已经两条边和面积求,另一条边DE
根据 面积公式 1/2*4*8*sinα=S
sinα=√15 /4
所以 cosα=±1/4
这样再根据余弦定理
得 DE^2=4^2+8^2±2*4*8*1/4
=64 或者 96
DE=8,或者 4√6
这是4x
那么另一中线3x就是 6,或者3√6

以此三角形的3条中线为边的三角形面积是原三角形面积的3/4，即(9/4)√15.
设第三条中线长2x,由海伦--秦九韶公式，
√[(4.5+x)(1.5+x)(x-1.5)(4.5-x)]=(9/4)√15，
平方得（20.25-x^2）(2.25-x^2)=75.9375,
x^4-22.5x^2-30.375=0,
x^2=(45+√2511）/4，

这题还真不会

答案是6吧？