思考了很久,要求两条曲线上任意两点距离的最小值.

这道题不难,你只要把MN两点的坐标写出来就简单了.
可以设M (x,y)那么f变换得到 N(y,x),
|MN|^2=（x-y）^2+（y-x）^2=2（y-x）^2,带入y^2=x-1消去x,化为一元函数求解.
|MN|^2=2（y-y^2-1）^2=2[（y-1/2)^2+3/4]^2,
当y=1/2时,|MN|^2取最小值=9/8
那么|MN|的最小值即为3√2/4
两条曲线想象困难的话,你也可以将两条曲线化为一条曲线和一条直线求解.
A和A1两点关于直线y=x对称,曲线C和C1也关于直线y=x对称
只要求出C和直线y=x的最短距离,乘以2,就是MN的最小值.
困死了,反正两种做法后面的算式几乎一样,不写了.

把y = x + a代入y^2 = x - 1，得到(x + a)^2 = x - 1，整理得到x^2 + (2a-1)x + a^2 + 1 = 0，
当(2a-1)^2 - 4(a^2 + 1) = 0时，以上方程只有一个解（即曲线C与y = x + a相切），这时a = - 0.75。
同理，曲线C1与y = x + b的切点对应 b = 0.75。
由于C跟C1是沿...

由题可推断出f变换是对y=x求对称，C为y^2=x-1，则C1为x^2=y-1，即y=x^2+1。
若C及C1与直线y=x有交点，则M及N取在交点上时，|MN|最小，为0。但由C及C1方程可知，两曲线与直线y=x无交点，则当M及N距直线y=x最近时，|MN|最小。
貌似现在高中学导数了，那问题就比较简单，当N点的切线与直线y=x平行时，N距直线y=x最近，即N点的导数（斜率）为1。...