（2012•广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，

解题思路：（1）可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组，即可求出A点的坐标．
（2）先根据直线BC的解析式求出B点的坐标，然后根据已知的A点和原点坐标，用待定系数法即可求出过A、B、O三点的抛物线的解析式．进而可求出其顶点P的坐标．
（3）如果设FM与y轴交于R，EN与y轴交于Q，不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形，那么本题可分二种情况进行讨论：
①当EF＞QE时，那么重合部分的面积是个矩形的面积，以EF和QE为长和宽．
②当EF≤QE时，那么重复部分就是正方形EFMN的面积．
根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S，t的函数关系式．
（4）可根据（3）的函数得出S的最大值及对应的t的值．然后根据t确定出E，F点的坐标，进而可求出直线EF的解析式，由此可判断出抛物线的顶点是否在直线EF上．

（1）依题意得

y＝−2x+12
y＝x．
解得

x＝4
y＝4．
∴点A的坐标为（4，4）．

（2）直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为（6，0）．
设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax²+bx，
依题意得

36a+6b＝0
16a+4b＝4．
解得

a＝−
1
2
b＝3．
∴所求抛物线的表达式为y=-[1/2]x²+3x

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．