jiro1792 幼苗
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(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;
当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
h(t)=f(t)=-t2+8t.
综上,h(t)=
−t2+6t+7,t<3
16,3≤t≤4
−t2+8t,t>4
(II)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,
即函数m(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
∵m(x)=x2-8x+6lnx+m,
∴ϕ′(x)=2x−8+
6
x=
2x2−8x+6
x=
2(x−1)(x−3)
x(x>0),
当x∈(0,1)时,m'(x)>0,m(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,m'(x)<0,m(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,m'(x)>0,m(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,m'(x)=0.
∴m(x)最大值=m(1)=m-7,m(x)最小值=m(3)=m+6ln3-15.
∵当x充分接近0时,m(x)<0,当x充分大时,m(x)>0.
∴要使m(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
ϕ(x)最大值=m−7>0
ϕ(x)最小值=m+6ln3−15<0
即7<m<15-6ln3.
∴存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
1年前
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已知函数f(x)=-x 2 +8x,g(x)=6lnx+m。
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已知函数f(x)=-x 2 +8x,g(x)=6lnx+m,
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你能帮帮他们吗