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已知四面体ABCD中,BD=√3,BC=DC=1,其余棱长均为2,且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上,则这个球的表面积
解析：∵四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上,
过A作AE⊥底面BCD交面BCD于E,
∴E必为⊿BCD外接圆的圆心,AE在四面体ABCD外接球的一条直径上
由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r,
∵BD=√3,BC=DC=1,其余棱长均为2,
cos∠BCD=(1+1-3)/2=-1/2==>∠BCD=120°
∴2BE=BD/sin∠BCD=√3/sin120°=2,
∴BE=1,
AE=√(AB^2-BE^2)=√3
由此可以猜测想,球的球心O一定在AE上,如图．
设OA=OB=R,在直角三角形BEO中,OB^2=OE^2+BE^2,
即R^2=1+(√3-R)^2==>R=2√3/3

三角形正弦定理中a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，所以BE应该是三角形BCD的外接圆的半径。但是我现在没想明白为什么球心会与AE共线。
希望能对你有帮助BE为什么是外接圆半径啊假设我知道为什么球心O属于AE，那么AE即为球的一条直径的一部分。由于A投影于△BCD，那么AE必垂直于△BCD，且过△BCD所在截面的圆心O‘。那么E即与O’重合。所以BE为半径。...