如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=

解题思路：（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0＝−9+3b+c
3＝c，
解得

b＝2
c＝31分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有

4＝k+n
0＝3k+n
解得

k＝−2
n＝6
∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=[1/2]AO•CO+[1/2]（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）
=[1/2]×1×3+[1/2]（-2m+6+3）•m=-m²+[9/2]m+[3/2]；

（3）线段BM上存在点N（[7/5]，[16/5]），（2，2），（1+

10
5，4-
2
10
5）使△NMC为等腰三角形
CM=
(1−0)2+(4−3)2＝
2，CN=
x2+(−2x+3)2，MN=
(x−1)2+(−2x+2)2
①当CM=NC时，
x2+(−2x+3)2＝
2，
解得x₁=[7/5]，x₂=1（舍去）
此时N（[7/5]，[16/5]）
②当CM=MN时，
(x−1)2+(−2x+2)2＝
2，
解得x₁=1+

10
5，x₂=1-

10
5（舍去），
此时N（1+

10
5，4-
2
10
5）
③当CN=MN时，
x2+(−2x+3)2=
(x−1)2+(−2x+2)2
解得x=2，此时N（2，2）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．