已知锐角α，β满足sinβ=mcos（α+β）•sinα（m＞0，α+β≠[π/2]），若x=tanα，y=tanβ，

解题思路：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式可得tan（α+β）=（m+1）tanα，即 tanβ=tan[（α+β）-α]=

mtanα

1+(m+1)tan2α

．再根据x=tanα，y=tanβ，求得y=f（x）的解析式．
（2）当α∈[[π/4]，[π/2]）时，x∈[1，+∞），y=[m

1/x

+(m+1)x]．令h（x）=[1/x]+（m+1）x，根据h（x）的单调性可得函数f（x）在[1，+∞）上是减函数，从而求得y=f（x）的最大值．

（1）∵sinβ=mcos（α+β）•sinα=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=（m+1）cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=（m+1）tanα 即 tanβ=tan[（α+β）-α]=
tan(α+β)−tanα
1+tan(α+β)tanα=
mtanα
1+(m+1)tan2α．
∵x=tanα，y=tanβ，∴y=f（x）=
mx
1+(m+1)x2．
（2）当α∈[[π/4]，[π/2]）时，x∈[1，+∞），y=
mx
1+(m+1)x2=[m

1/x+(m+1)x]．
令h（x）=[1/x]+（m+1）x，则函数h（x）在[
1

m+1，+∞）上是增函数．
再由m＞0，可得0＜
1

m+1＜1，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数，
∴当x=1时，f(x)max＝
m
m+2．

点评：
本题考点： 两角和与差的正切函数．

考点点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．