抛物线弦长已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2)且OA⊥OB,求弦AB的长

设直线AB的方程是x-4=k(y-2),A(x1.y1),B(x2,y2)所以y^2=6ky-12k+24
y^2-6ky+12k-24=0,y1+y2=6k,y1y2=12k-24
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,(k^2+1)y1y2+(4k-2k^2)(y1+y2)+4k^2-16k+16=0
4k^2-4k-8=0,k^2-k-2=0,k=-1或2,因为y1y2不等于0,所以k=-1
y1+y2=-6.y1y2=-36,(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=180,|y1-y2|=6根号5
因为k=-1,所以直线AB的倾斜角是45度,所以|AB|=（根号2）|y1-y2|
所以弦AB的长是6根号10
说明一下：当直线AB斜率不存在时,联立抛物线和直线AB的方程
可以得到A(4,2根号6）,B（4,-2根号6）,向量OA·向量OB=-8≠0
这种情况不满足OA⊥OB

该直线必过（P，0）
（这是一条推论，考试不能直接用，不过你知道怎么证的就可以了）
得知P=3
所以该直线设为Y=KX-3K
再把（4，2）带进去，得知直线方程为
Y=2X-6
联立得2X^2-15X+18=0
根据弦长公式求得AB=9倍根号5/2

设A(x1,y1)B(x2,y2),y-2=k(x-4)(k存在时)
那么x1x2+y1y2=0
那么(y1y2)^2/36+y1y2=0
得y1y2=0(舍去),y1y2=-36
那么y-2=k(x-4)与抛物线联立有
ky^2-6y-24k+12=0
那么y1y2=(-24k+12)/k=-36
得k=-1
那么y1+y2=-6

设A[x1,(x1)^2/6],B[x2,(x2)^2/6]
直线OA斜率:k1=[(x1)^2/6]/x1=x1/6 直线OB斜率k2=x2/6
OA,OB垂直故k1k2=-1=x1x2/36 x1x2=-36
过AB两点直线方程为y=(x1+x2)x/6+6 (过程略)
又P(4,2)在AB上,代入,得到=4(X1+X2)/6+6
即X1+X2=-...