已知复数z1,z2满足10z1²+5z2²=2z1z2,且z1+2z2为纯虚数,求证：3z1-z2为实数

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10z1^2+5z2^2=2z1z2
9z1^2+z2^2+z1^2+4z2^2=2z1z2
(9z1^2-6z1z2+z2^2)+(z1^2+4z1z2+4z2^2)=0
(3z1-z2)^2+(z1+2z2)^2=0
而：z1+2z2为纯虚数,可表示为:z1+2z2=ai (其中a为实数)
所以：(3z1-z2)^2-a^2=0
(3z1-z2)^2=a^2>0
所以:3z1-z2为实数

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你能帮帮他们吗

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