已知a=（3，cosωx），b=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函数f（x）=a•b，若将函数f（x）的图

（Ⅰ）f（x）=

a•

b=
3sinωx-cosωx=2sin（ωx-[π/6]），
∴g（x）=f（x+[π/3]）=2sin[ω（x+[π/3]）-[π/6]]=2sin（ωx-[ω/3π−
π
6]），
又∵g（x）是偶函数，
∴sin（-ωx+[ω/3π−
π
6]）=sin（ωx+[ω/3π−
π
6]），
∴sinωxcos（[ω/3π−
π
6]）=0对任意x∈R恒成立，
∴[ω/3π−
π
6]=[π/2+kπ，k∈Z，
整理，得ω=2+3k，k∈Z，
又0＜ω＜3，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-
π
6]），
令-[π/2+2kπ≤2x−
π
6≤
π
2+2kπ，k∈Z，
得-
π
6+kπ≤x≤
π
3+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[−
π
6+kπ，
π
3+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（
α
2]）=2sin（2•
α
2-[π/6]）=2sin（α−
π
6），
又f（[α/2]）=[1/2]，∴sin（α−
π
6）=[1/4]，
又[π/6＜α＜
2
3π，∴0＜α−
π
6＜
π
2]，
∴cos（α−
π
6）=

15
4，
∴sinα=sin[(α−
π
6)+
π
6]
=sin(α−
π
6)cos
π
6+cos(α−
π
6)sin
π
6
=
1
4×

3
2+

15
4×
1
2
=

3+
15
8．

点评：
本题考点： 平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查函数f（x）的解析式及其单调增区间的求法，考查sinα的值的求法，是中档题，解题时要注意向量的数量积的合理运用．

1年前

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